V modeli gravitácie založenom na entropii lokálna hustota entropie klesá, zatiaľ čo celková entropia rastie

Rastúci objem môže znižovať hustotu a zároveň zvyšovať celkové množstvo

Ak hustota entropie v tomto modeli pri rozpínaní vesmíru klesá, ako môže celková entropia napriek tomu rásť?

Predstavte si rozpínajúci sa vesmír rozdelený na drobné bunky. Množstvo určitej veličiny v každej bunke môže klesať, zatiaľ čo jej celkové množstvo v celej rastúcej oblasti stúpa. Pokles hustoty a rast celku nie sú protikladmi, keď sa mení samotný objem.

Táto jednoduchá otázka bilancie stojí v centre omnoho ambicióznejšej teoretickej práce. V časopise Physical Review D rozvíja matematická fyzička Ginestra Bianconi termodynamický opis modelu Gravity From Entropy (GfE), nedávno navrhnutého rámca, v ktorom je gravitácia zakódovaná prostredníctvom informačno-teoretického vzťahu medzi hmotou a geometriou. „Informačno-teoretický“ tu znamená, že model vychádza z matematickej miery rozdielu medzi dvoma opismi geometrie: fyzickou geometriou a geometriou indukovanou hmotou a zakrivením.

Článok odvodzuje lokálne veličiny nazývané k-entropie, k-energie, k-teploty a k-tlaky. Predpona $k$ oddeľuje rozličné geometrické sektory modelu; nejde o rôzne látky ani kozmické epochy. Vzťah prvého zákona medzi nimi má rovnakú bilančnú podobu ako v termodynamike: zmena energie súvisí s teplotou násobenou zmenou entropie mínus tlak násobený zmenou objemu.

Práca potom tieto veličiny vyhodnocuje v rozpínajúcich sa Friedmannových kozmológiách: štandardných idealizovaných vesmíroch, ktoré sú vo veľkých mierkach homogénne a izotropné. V nízkoenergetickom režime s malým zakrivením majú príklady dominované hmotou a žiarením klesajúce lokálne hustoty entropie a energie, no rozpínanie poskytuje dostatočne veľký objem, aby celková entropia rástla. Celková energia sa v vedúcom ráde približuje ku konštante — teda po ponechaní dominantného člena pri veľkých časoch a zanedbaní členov, ktoré s časom zanikajú rýchlejšie.

Je to jasne odvodený matematický výsledok. Rovnako dôležité je však jeho obmedzenie: výpočet sa vykonáva vo vnútri jednej navrhovanej teórie a Friedmannove kozmológie použité v konkrétnych príkladoch sú iba približnými, nie presnými riešeniami úplných rovníc GfE. Tieto pohybové rovnice vznikajú variáciou navrhovanej akcie GfE a obsahujú dynamické G-pole a geometrické sektory vyššieho rádu, ktoré v bežných Friedmannových rovniciach chýbajú. Článok nepozoruje, ako entropia vytvára gravitáciu, neurčuje tmavú energiu nášho vesmíru a nedokončuje teóriu kvantovej gravitácie.

Čo model Gravity From Entropy predpokladá

Všeobecná relativita opisuje gravitáciu geometriou časopriestoru. Hmota hovorí časopriestoru, ako sa má zakriviť, a zakrivenie hovorí hmote, ako sa má pohybovať. GfE vychádza z inej navrhovanej akcie: s objektmi súvisiacimi s metrikou zaobchádza ako s kvantovými operátormi a svoj Lagrangián buduje z geometrickej kvantovej relatívnej entropie (Geometric Quantum Relative Entropy, GQRE).

Relatívna entropia je zvyčajne mierou rozlíšiteľnosti dvoch pravdepodobnostných rozdelení alebo kvantových stavov. V GfE sa porovnáva fyzická metrika s metrikou vyššieho rádu indukovanou hmotou a zakrivením. „Vyšší rád“ neznamená ďalšie rozmery časopriestoru. Znamená, že model spája skalárne, vektorové a bivektorové geometrické sektory do jedného rozšíreného objektu. Dynamické G-pole tieto zložky prepája a „oblieka“ metriku používanú v gravitačnej aj hmotovej časti modelu. Rámec je zostrojený tak, aby sa v nízkoenergetickom limite s malým zakrivením jeho akcia redukovala na Einsteinovu-Hilbertovu akciu všeobecnej relativity plus akciu hmoty.

Poslednej vete možno ľahko pripísať väčší význam, než má. Obnovenie Einsteinových rovníc v určitom limite je cieľom konzistencie návrhu. Neukazuje, že príroda používa širšiu teóriu mimo tohto limitu.

Rovnice poľa GfE obsahujú aj dynamický člen, ktorý rámec nazýva emergentným efektívnym členom tmavej energie. Bianconi v tejto práci stotožňuje hustotu vnútornej energie modelu s týmto členom. „Efektívna tmavá energia“ opisuje jeho úlohu v rovniciach. Nie je to empirické stotožnenie s tmavou energiou odvodenou z kozmologických pozorovaní.

Presný termodynamický výsledok vo vnútri modelu

Práca najprv postupuje na úrovni samotného rámca GfE. Pre každý rád a typ geometrického stupňa voľnosti označený indexom $k$ definuje:

• lokálnu k-entropiu z GQRE;
• lokálnu k-energiu z hustoty vnútornej energie modelu;
• konjugovanú k-teplotu;
• a k-tlak.

Tieto veličiny spĺňajú lokálny prvý zákon. V zápise článku:

Index $k$ nie je zoznamom rôznych látok ani epoch vesmíru. V homogénnom a izotropnom výpočte označuje päť položiek: jednu skalárnu; oddelenú časovú a priestorovú položku vektorového sektora; a oddelenú časovo-priestorovú a priestorovo-priestorovú položku bivektorového sektora. Skalár nemá smerový index, vektorové položky odlišujú časový smer od priestorových a bivektor je zostavený z dvojíc smerov. Každý sektor môže mať vlastnú teplotu a tlak. K-teplota môže byť kladná aj záporná v závislosti od príslušnej zložky G-poľa.

Nejde o teploty merané teplomerom pri kozmologickom horizonte. Štandardná kvantovo-poľová teplota de Sitterovho priestoru škáluje s $H$: Gibbonsova-Hawkingova teplota sa priraďuje kozmologickému horizontu, zatiaľ čo Bunchovo-Daviesovo vákuum je štandardný de Sitterovsky invariantný kvantový stav, ktorého korelácie poľa poskytujú súvisiacu tepelnú odozvu. Článok obe výslovne odlišuje od svojich geometrických k-teplôt, ktoré v príklade de Sitterovho priestoru škálujú s $H^{2}$. „Teplota“ tu označuje termodynamicky konjugovanú veličinu odvodenú z definícií entropie a energie v modeli.

Identita prvého zákona je teda skutočným odvodením, ale výsledkom platným v rámci modelu: ak prijmeme akciu a definície GfE, táto termodynamická štruktúra z nich vyplynie.

Prečo je Friedmannov výpočet iba priblížením

Na premenenie formalizmu na kozmologický príklad používa článok homogénne a izotropné Friedmannove-Robertsonove-Walkerove (FRW) časopriestory. „Homogénny“ znamená, že model má vo veľkých mierkach rovnaké priemerné vlastnosti na každom mieste; „izotropný“ znamená, že vyzerá rovnako vo všetkých smeroch. Jediný mierkový faktor opisuje rast vzdialeností s časom, hmota sa reprezentuje ako hladká dokonalá tekutina a Hubbleov parameter $H$ zhŕňa rýchlosť rozpínania. Ide o idealizované pozadie, nie mapu jednotlivých galaxií.

Existuje však štrukturálny nesúlad. Friedmannove vesmíry riešia Einsteinove rovnice. Vo všeobecnosti neriešia úplné rovnice GfE vyššieho rádu, ktoré sledujú aj skalárny, vektorový a bivektorový sektor a derivácie G-poľa. Einsteinove rovnice sa v návrhu znovu objavujú iba v prvom, nízkoenergetickom ráde s malým zakrivením.

Článok to uvádza priamo a s Friedmannovými riešeniami zaobchádza ako s aproximáciami, podobne ako keď sa riešenie stredného poľa vloží do úplnejšej teórie, aby sa preskúmalo, kde je aproximácia spoľahlivá. Režim vyžaduje nízku energiu a malé zakrivenie, čo zhŕňa podmienka $l_P H \ll 1$, kde $l_P$ je Planckova dĺžka. Druhá podmienka vyžaduje, aby súčin indukovanej metriky vyššieho rádu a inverznej fyzickej metriky vyššieho rádu zostal pozitívne definitný.

Výsledok teda nehovorí „GfE predpovedá dejiny nášho vesmíru“. Presnejšie znie: ak je vesmír GfE dostatočne dobre aproximovaný známou Friedmannovou kozmológiou, úplné veličiny GfE nadobúdajú tieto termodynamické škálovania.

Výsledok lokálne verzus celkovo

V tomto režime majú vedúce lokálne veličiny jednoduché škálovania:

• hustota entropie modelu škáluje ako $H^{2}$;
• hustota energie modelu škáluje ako $H^{4}$;
• pri neskorých časoch v ne-de Sitterovských Friedmannových príkladoch sa menia približne ako $t^{-2}$ a $t^{-4}$.

Obe hustoty teda pri rozpínaní vesmíru klesajú. Hustota však nie je celkové množstvo.

Keď práca integruje cez rozpínajúcu sa oblasť časopriestoru, rastúci objem zmení výsledok. V fyzikálne známych príkladoch dominovaných hmotou a žiarením celková entropia s časom rastie, hoci entropia na jednotku objemu klesá. Celková energia ďalej nerastie; vo vedúcom ráde sa približuje ku konštante.

Toto je najužitočnejší koncepčný výsledok článku. Lokálne usporiadanie alebo riedenie nemusí byť v rozpore s globálnym druhým zákonom. Oblasť môže mať lokálne menšiu entropiu na jednotku objemu, zatiaľ čo integrovaná entropia rastie, pretože objem časopriestoru rastie rýchlejšie.

Výpočet nedokazuje, že ide o správne mikroskopické vysvetlenie termodynamickej šípky času v skutočnom vesmíre. Ukazuje, že navrhovaný rámec dokáže vo svojom Friedmannovom priblížení bez rozporu obsahovať rozdiel medzi lokálnym a globálnym opisom.

Porovnanie s de Sitterovým priestorom, ale s inou teplotou

Práca sa zaoberá aj de Sitterovým priestorom, idealizovaným exponenciálne sa rozpínajúcim časopriestorom s konštantným $H$. Pre jedného pozorovateľa integruje iba cez konečný kauzálny diamant: prienik budúceho svetelného kužeľa skoršej udalosti a minulého svetelného kužeľa neskoršej udalosti, ktorý ohraničuje oblasť časopriestoru schopnú zúčastniť sa pozorovaní medzi nimi. V tomto diamante škáluje celková entropia GfE ako $H^{-2}$, rovnako ako známa Gibbonsova-Hawkingova entropia. Celková energia GfE je v jednotkách modelu rádu jedna.

Zhoda škálovania nie je to isté ako odvodenie toho istého fyzikálneho objektu. Príslušná k-teplota GfE škáluje ako $H^{2}$, na rozdiel od štandardnej de Sitterovej teploty, ktorá škáluje ako $H$. Článok interpretuje tento rozdiel ako náznak, že k-teplota patrí geometrii časopriestoru, nie kvantovým poliam žijúcim na tomto pozadí.

Následne navrhuje, že takáto teplota by mohla súvisieť skôr s gravitačným žiarením než s emisiou bežných častíc. To je otázka do budúcnosti, nie výsledok tejto práce. Najprv by bolo potrebné teóriu kvantovať a zistiť, či jej teploty vôbec zodpovedajú nejakému žiareniu.

Čo to nedokazuje

• Nepozoruje, že gravitácia vzniká z entropie.
• Nestanovuje, že efektívny člen modelu je tmavou energiou meranou v kozmológii.
• Nenahrádza všeobecnú relativitu experimentálne overenou lepšou teóriou. Všeobecná relativita sa tu objavuje ako nízkoenergetický limit návrhu s malým zakrivením.
• Nerobí z Friedmannových kozmológií presné riešenia GfE. Sú aproximáciou použitou na odhad termodynamického správania modelu.
• Neodvodzuje úplné mikroskopické počítanie stupňov voľnosti časopriestoru.
• Neposkytuje dokončenú teóriu kvantovej gravitácie ani nedeteguje gravitóny.
• Neukazuje, že záporné k-teploty sú obyčajnými zápornými údajmi teplomera.

Aký silný je výsledok?

Ide o recenzovanú teoretickú prácu, takže „dôkaz“ tu znamená niečo iné než v experimente. Primerané otázky sú, či sú definície konzistentné, či odvodenia logicky nasledujú a či sú aproximácie jasne uvedené a kontrolované.

Na tejto úrovni práca poskytuje konkrétny termodynamický slovník pre GfE a odvodzuje štruktúru prvého zákona namiesto toho, aby sa spoliehala iba na analógiu. Hranicu aproximácie navyše ukazuje nezvyčajne otvorene: Friedmannove riešenia si požičiava zo všeobecnej relativity, dosadzuje ich do veličín GfE a obmedzuje sa na režim, v ktorom indukovaná metrika zostáva dobre definovaná.

Širšie fyzikálne tvrdenia zostávajú otvorené. Rámec je nový, táto práca neporovnáva jeho kozmológiu s dátami a niektoré z najzaujímavejších dôsledkov — kvantovanie, kontaktno-geometrická dynamika a možné gravitačné žiarenie — uvádza ako smery budúceho výskumu. Vnútorná konzistencia je pre novú gravitačnú teóriu nevyhnutná. Nestačí však na preukázanie, že teória opisuje prírodu.

Prečo na tom záleží

Vzťah medzi gravitáciou a termodynamikou je starý a hlboký, od entropie čiernych dier po teplotu de Sitterovho priestoru. Mnohé z týchto výsledkov sa sústreďujú na horizonty. GfE sa namiesto toho pokúša vytvoriť lokálnu objemovú mieru informácie priamo zo vzťahu medzi hmotou a geometriou.

Otázka, či návrh obstojí, zostáva otvorená. Termodynamická analýza však odhaľuje užitočnú požiadavku na každú podobnú teóriu: mala by vysvetliť, ako môže lokálna štruktúra a klesajúca lokálna hustota entropie existovať súčasne s rastúcou celkovou entropiou v rozpínajúcom sa vesmíre.

Táto práca ukazuje jeden matematicky explicitný spôsob, ako sa to môže stať. Jej hodnota nespočíva v uzavretí problému gravitácie a entropie. Premieňa časť problému na rovnice, ktorých predpoklady, hranice a ďalšie testy možno jasne pomenovať.

Stručné zhrnutie

Bianconi odvodzuje termodynamický opis v rámci Gravity From Entropy, navrhovaného modelu modifikovanej gravitácie založeného na geometrickej kvantovej relatívnej entropii. Lokálne veličiny entropie, energie, teploty a tlaku v modeli spĺňajú prvý zákon. Keď sa úplné veličiny GfE vyhodnotia vo Friedmannových priblíženiach s nízkou energiou a malým zakrivením, lokálne hustoty entropie a energie pri rozpínaní vesmíru klesajú, zatiaľ čo celková entropia rastie vďaka rastúcemu objemu časopriestoru; celková energia sa v príkladoch dominovaných hmotou a žiarením vo vedúcom ráde približuje ku konštante. Kauzálny diamant v de Sitterovom priestore poskytuje entropiu škálujúcu ako $H^{-2}$, ale modelovú teplotu odlišnú od štandardnej teploty horizontu. Ide o podmienené matematické výsledky vo vnútri GfE, nie o pozorovací dôkaz, že gravitácia vzniká z entropie, meranie tmavej energie ani hotovú teóriu kvantovej gravitácie.