В модел на гравитация, основан на ентропията, локалната ентропийна плътност намалява, докато общата ентропия нараства

Разширяващият се обем може да понижава плътността, докато увеличава общото количество

Ако в този модел плътността на ентропията намалява с разширяването на Вселената, как тогава общата ентропия може все пак да нараства?

Представете си разширяваща се Вселена, разделена на малки клетки. Количеството на нещо във всяка клетка може да намалява, докато общото количество в нарастващата област се увеличава. Спадът на плътността и ръстът на общото количество не са противоположности, когато самият обем се променя.

Тази проста сметка стои в основата на много по-амбициозна теоретична статия. В Physical Review D математическият физик Джинестра Бианкони разработва термодинамично описание на гравитацията от ентропията (Gravity From Entropy, GfE) — наскоро предложен модел, в който гравитацията е кодирана чрез информационно-теоретична връзка между материята и геометрията. Тук „информационно-теоретична“ означава, че моделът започва от математическа мярка за това доколко се различават две описания на геометрията: физическата геометрия и геометрията, породена от материята и кривината.

Статията извежда локални величини, наречени k-ентропии, k-енергии, k-температури и k-налягания. Представката $k$ разграничава различни геометрични сектори в модела; това не са различни вещества или космически епохи. Връзката им от типа на първия закон има същата математическа структура като в термодинамиката: промяната на енергията е свързана с температурата, умножена по промяната на ентропията, минус налягането, умножено по промяната на обема.

След това авторката изчислява тези величини в разширяващи се космологии на Фридман: стандартни идеализирани вселени, които в голям мащаб са хомогенни и изотропни. В режим на ниска енергия и малка кривина примерите с доминиране на материя или лъчение имат намаляващи локални плътности на ентропията и енергията, но разширяването осигурява достатъчно нарастващ обем, за да се увеличава общата ентропия. Общата енергия се доближава до константа във водещ порядък — тоест след като се запази доминиращият член при големи времена и се пренебрегнат членовете, които затихват по-бързо с времето.

Това е ясен математически резултат. Също толкова важна е границата му: изчислението е направено в рамките на една предложена теория, а космологиите на Фридман, използвани за конкретните примери, са само приближени, а не точни решения на пълните уравнения на GfE. Тези уравнения на движение се получават чрез вариране на предложеното действие на GfE и включват динамичното G-поле и геометрични сектори от по-висок порядък, които липсват в обикновените уравнения на Фридман. Статията не наблюдава как ентропията поражда гравитация, не идентифицира тъмната енергия в нашата Вселена и не предлага завършена теория на квантовата гравитация.

Какво приема гравитацията от ентропията

Общата теория на относителността описва гравитацията чрез геометрията на пространство-времето. Материята казва на пространство-времето как да се изкривява, а тази кривина казва на материята как да се движи. GfE започва от друго предложено действие: тя разглежда свързани с метриката обекти като квантови оператори и изгражда своя лагранжиан от геометрична квантова относителна ентропия (Geometric Quantum Relative Entropy, GQRE).

Относителната ентропия обикновено е мярка за различимостта между две вероятностни разпределения или квантови състояния. В GfE сравнението е между физическата метрика и метрика от по-висок порядък, породена от материята и кривината. „По-висок порядък“ не означава допълнителни измерения на пространство-времето. Означава, че моделът обединява скаларни геометрични сектори и сектори от векторен и бивекторен тип в един разширен обект. Динамично G-поле свързва тези компоненти и „облича“ метриката, използвана както в гравитационната, така и в материалната част на модела. Рамката е построена така, че в границата на ниска енергия и малка кривина нейното действие да се свежда до действието на Айнщайн–Хилберт от общата теория на относителността плюс действието на материята.

Последното изречение лесно може да бъде надценено. Възстановяването на уравненията на Айнщайн в определена граница е цел за вътрешна съгласуваност на предложението. То не показва, че природата използва по-широката теория извън тази граница.

Полевите уравнения на GfE съдържат и динамичен член, който рамката нарича възникващ ефективен член на тъмната енергия. В тази статия Бианкони отъждествява плътността на вътрешната енергия на модела с този член. „Ефективна тъмна енергия“ описва ролята му в уравненията. Това не е емпирично отъждествяване с тъмната енергия, заключена от космологични наблюдения.

Точният термодинамичен резултат в рамките на модела

Статията първо работи на нивото на самата рамка GfE. За всеки порядък и тип геометрична степен на свобода, означени с $k$, тя дефинира:

• локална k-ентропия от GQRE;
• локална k-енергия от плътността на вътрешната енергия на модела;
• спрегната k-температура;
• и k-налягане.

Тези величини се подчиняват на локална връзка от типа на първия закон. В означенията на статията:

Индексът $k$ не е списък на различни вещества или епохи на Вселената. В хомогенното и изотропно изчисление той означава пет компонента: един скаларен; отделни времеподобен и пространственоподобен компонент от сектора от векторен тип; и отделни време-пространствен и пространство-пространствен компонент от сектора от бивекторен тип. Скаларът няма индекс на посока, компонентите от векторен тип разграничават времевите от пространствените направления, а бивекторът е изграден от двойки направления. Всеки сектор може да има собствена температура и налягане. k-температурата може да бъде положителна или отрицателна в зависимост от съответния компонент на G-полето.

Това не са температури, измервани чрез поставяне на термометър близо до космологичен хоризонт. Стандартната температура на квантовото поле в де Ситерово пространство се мащабира с $H$: температурата на Гибънс–Хокинг се приписва на космологичния хоризонт, докато вакуумът на Бънч–Дейвис е стандартното де Ситерово инвариантно квантово състояние, чиито полеви корелации дават свързания топлинен отклик. Статията изрично разграничава и двете от своите геометрични k-температури, които в примера с де Ситерово пространство се мащабират с $H^{2}$. Тук „температура“ е име на термодинамична спрегната величина, изведена от определенията за ентропия и енергия в модела.

Следователно тъждеството от типа на първия закон е действително изведено, но е резултат, валиден в рамките на самия модел: ако се приемат действието и определенията на GfE, тази термодинамична структура следва от тях.

Защо изчислението на Фридман е приближение

За да превърне формализма в космологичен пример, статията използва хомогенни и изотропни пространство-времена на Фридман–Робъртсън–Уокър (FRW). „Хомогенно“ означава, че в голям мащаб моделът има едни и същи средни свойства на всяко място; „изотропно“ означава, че изглежда еднакво във всички посоки. Един мащабен фактор описва как разстоянията нарастват с времето, материята е представена като гладък идеален флуид, а параметърът на Хъбъл $H$ обобщава скоростта на разширяване. Това е идеализиран фон, а не карта на отделни галактики.

Но съществува структурно несъответствие. Вселените на Фридман решават уравненията на Айнщайн. Като цяло те не решават пълните уравнения на GfE от по-висок порядък, които проследяват също скаларния сектор, секторите от векторен и бивекторен тип и производните на G-полето. Уравненията на Айнщайн се появяват отново само в границата от първи порядък при ниска енергия и малка кривина.

Статията казва това пряко и използва решенията на Фридман като приближение — подобно на това да се постави решение в приближението на средното поле в по-пълна теория и да се провери в какъв режим остава надеждно. Режимът изисква ниска енергия и малка кривина, обобщени чрез $l_P H \ll 1$, където $l_P$ е дължината на Планк. Второ условие изисква произведението на индуцираната метрика от по-висок порядък и обратната физическа метрика от по-висок порядък да остане положително определено.

Следователно резултатът не е „GfE предсказва историята на нашата Вселена“. По-точно е: ако една GfE-вселена може достатъчно добре да се приближи с позната космология на Фридман, величините на GfE следват тези термодинамични мащабни зависимости.

Локалният резултат спрямо общия

В този режим водещите локални величини имат прости мащабни зависимости:

• плътността на ентропията в модела се мащабира като $H^{2}$;
• плътността на енергията в модела се мащабира като $H^{4}$;
• за неде-Ситерови примери на Фридман при късни времена те стават приблизително $t^{-2}$ и $t^{-4}$.

Следователно и двете плътности намаляват с разширяването на Вселената. Но плътността не е общото количество.

Когато статията интегрира върху разширяващата се област от пространство-времето, нарастващият обем променя отговора. За физически познатите примери с доминиране на материя или лъчение общата ентропия нараства с времето, дори когато ентропията на единица обем намалява. Общата енергия не продължава да расте; във водещ порядък тя се доближава до константа.

Това е най-полезният концептуален резултат на статията. Локалното подреждане или разреждане не противоречи автоматично на глобалния втори закон. Ентропийната плътност в една област може локално да намалява, докато общата ентропия расте, защото обемът на пространство-времето нараства по-бързо.

Изчислението не доказва, че това е правилното микроскопично обяснение на термодинамичната стрела на времето в реалната Вселена. То показва, че в приближението на Фридман предложената рамка може без противоречие да описва разликата между локалното и глобалното поведение.

Сравнение с де Ситерово пространство, но с различна температура

Статията разглежда и де Ситерово пространство — идеализирано експоненциално разширяващо се пространство-време с постоянно $H$. За един наблюдател тя интегрира само върху краен причинен диамант: пресечната област между бъдещия светлинен конус на по-ранно събитие и миналия светлинен конус на по-късно събитие, която ограничава областта от пространство-времето, способна да участва в наблюденията между тях. В този диамант общата GfE-ентропия се мащабира като $H^{-2}$, със същата H-зависимост като познатата ентропия на Гибънс–Хокинг. Общата GfE-енергия е от порядък единица в мерните единици на модела.

Съвпадението на една мащабна зависимост не е същото като извеждане на същия физически обект. Свързаната GfE k-температура се мащабира като $H^{2}$, за разлика от стандартната де Ситерова температура, която се мащабира като $H$. Статията тълкува тази разлика като признак, че k-температурата принадлежи на геометрията на пространство-времето, а не на квантовите полета, които живеят върху този фон.

След това тя предполага, че такава температура би могла да е свързана с гравитонно лъчение, а не с излъчване на обикновени частици. Това е въпрос за бъдещо изследване, а не резултат на статията. Теорията първо трябва да бъде квантувана, за да се установи дали нейните температури изобщо съответстват на лъчение.

Какво не доказва това

• То не показва чрез наблюдения, че гравитацията възниква от ентропията.
• То не установява, че ефективният член на модела е тъмната енергия, измерена в космологията.
• То не заменя общата теория на относителността с проверена по-добра теория. Общата относителност се появява тук като граница на предложението при ниска енергия и малка кривина.
• То не прави космологиите на Фридман точни решения на GfE. Те са приближението, използвано за оценка на термодинамичното поведение на модела.
• То не извежда пълно микроскопично преброяване на степените на свобода на пространство-времето.
• То не предоставя завършена теория на квантовата гравитация и не открива гравитони.
• То не показва, че отрицателните k-температури са обикновени отрицателни показания на термометър.

Колко силен е резултатът?

Това е рецензирана теоретична статия, така че „доказателства“ тук означава нещо различно от експеримент. Подходящите въпроси са дали определенията са съгласувани, дали изводите следват от тях и дали приближенията са ясно посочени и контролирани.

На това равнище статията дава конкретен термодинамичен речник за GfE и извежда структура от типа на първия закон, вместо да разчита само на аналогия. Тя също посочва необичайно ясно границите на приближението: решенията на Фридман са взети от общата теория на относителността и приложени към величините на GfE, като анализът е ограничен до режим, в който индуцираната метрика остава добре обусловена.

По-широките физически твърдения остават отворени. Рамката е нова, тази статия не сравнява нейната космология с данни, а някои от най-интересните последици — квантуване, контактно-геометрична динамика и възможно гравитонно лъчение — са представени като направления за бъдеща работа. Вътрешната съгласуваност е необходима за една нова теория на гравитацията. Тя не е достатъчна, за да покаже, че теорията описва природата.

Защо това има значение

Връзката между гравитацията и термодинамиката е стара и дълбока — от ентропията на черните дупки до температурата на де Ситеровото пространство. Много от тези резултати са организирани около хоризонти. Вместо това GfE се опитва да изгради локална, обемна информационна мярка непосредствено от връзката между материята и геометрията.

Дали предложението ще издържи, е открит въпрос. Но термодинамичният анализ показва полезна цел за всяка подобна теория: тя трябва да обясни как локалната структура и намаляващата локална плътност на ентропията могат да съществуват заедно с нарастваща обща ентропия в разширяваща се Вселена.

Тази статия показва един математически ясен начин това да се случи. Стойността ѝ не е в това, че приключва проблема за връзката между гравитацията и ентропията. Тя превръща част от този проблем в уравнения, чиито допускания, граници и следващи проверки могат да бъдат формулирани ясно.

Накратко

Бианкони извежда термодинамично описание в рамките на гравитацията от ентропията — предложена рамка за модифицирана гравитация, основана на геометрична квантова относителна ентропия. Локалните променливи за ентропия, енергия, температура и налягане в модела се подчиняват на връзка от типа на първия закон. Когато пълните величини на GfE се изчислят върху приближения на Фридман при ниска енергия и малка кривина, локалните плътности на ентропията и енергията намаляват с разширяването на Вселената, докато общата ентропия нараства поради увеличаващия се обем на пространство-времето; в примерите с доминиране на материя или лъчение общата енергия се доближава до константа във водещ порядък. Причинен диамант в де Ситерово пространство дава ентропия, мащабираща се като $H^{-2}$, но температура на модела, различна от стандартната температура на хоризонта. Това са условни математически резултати вътре в GfE, а не наблюдателни доказателства, че гравитацията произлиза от ентропията, измерване на тъмната енергия или завършена теория на квантовата гравитация.