В модели гравитации на основе энтропии локальная плотность энтропии падает, а полная растёт

Растущий объём может снижать плотность и одновременно увеличивать полное количество

Если в этой модели плотность энтропии падает при расширении Вселенной, как её полная энтропия всё же может расти?

Представьте расширяющуюся Вселенную, разделённую на маленькие ячейки. Количество чего-либо в каждой ячейке может уменьшаться, даже если общее количество во всей растущей области увеличивается. Снижение плотности и рост полного количества не противоречат друг другу, если меняется сам объём.

Этот простой вопрос о том, как соотносятся плотность и полный объём, лежит в основе гораздо более амбициозной теоретической работы. В Physical Review D математический физик Джинестра Бьянкони развивает термодинамическое описание Gravity From Entropy (GfE, «гравитация из энтропии») — недавно предложенной модели, в которой гравитация кодируется информационно-теоретическим отношением между материей и геометрией. Здесь «информационно-теоретический» означает, что модель начинается с математической меры различия двух описаний геометрии: физической геометрии и геометрии, индуцированной материей и кривизной.

В статье выводятся локальные величины, называемые k-энтропиями, k-энергиями, k-температурами и k-давлениями. Префикс $k$ разделяет разные геометрические секторы модели; это не разные вещества и не космические эпохи. Связь между ними имеет ту же форму, что и первый закон термодинамики: изменение энергии равно температуре, умноженной на изменение энтропии, минус давление, умноженное на изменение объёма.

Затем статья вычисляет эти величины для расширяющихся космологий Фридмана — стандартных идеализированных вселенных, однородных и изотропных на больших масштабах. В низкоэнергетическом режиме малой кривизны в примерах, где доминируют материя или излучение, локальные плотности энтропии и энергии уменьшаются, но расширение даёт достаточно дополнительного объёма, чтобы полная энтропия росла. Полная энергия в ведущем порядке приближается к постоянной — то есть если сохранить доминирующий при больших временах член и отбросить члены, затухающие быстрее.

Это ясный математический результат. Не менее важна его граница: вычисление выполнено внутри одной предлагаемой теории, а космологии Фридмана, использованные для конкретных примеров, являются только приближёнными, а не точными решениями полных уравнений GfE. Эти уравнения движения получают вариацией предложенного действия GfE; они включают динамическое G-поле и геометрические секторы более высокого порядка, отсутствующие в обычных уравнениях Фридмана. Статья не наблюдает, как энтропия порождает гравитацию, не идентифицирует тёмную энергию нашей Вселенной и не завершает теорию квантовой гравитации.

Что предполагает Gravity From Entropy

Общая теория относительности описывает гравитацию через геометрию пространства-времени. Материя сообщает пространству-времени, как искривляться, а кривизна сообщает материи, как двигаться. GfE начинается с другого предлагаемого действия: связанные с метрикой объекты рассматриваются как квантовые операторы, а лагранжиан строится из геометрической квантовой относительной энтропии (GQRE).

Относительная энтропия обычно измеряет различимость двух распределений вероятности или квантовых состояний. В GfE сравниваются физическая метрика и метрика более высокого порядка, индуцированная материей и кривизной. «Более высокого порядка» не означает дополнительные измерения пространства-времени. Это означает, что модель объединяет скалярные, вектороподобные и бивектороподобные геометрические секторы в один расширенный объект. Динамическое G-поле связывает эти компоненты и «одевает» метрику, используемую и в гравитационной, и в материальной частях модели. Конструкция устроена так, чтобы в низкоэнергетическом пределе малой кривизны её действие переходило в действие Эйнштейна—Гильберта общей теории относительности плюс действие материи.

Последнюю фразу легко прочитать слишком широко. Восстановление уравнений Эйнштейна в определённом пределе — проверка согласованности предложения. Оно не показывает, что природа использует более крупную теорию вне этого предела.

Уравнения поля GfE также содержат динамический член, который схема называет возникающим эффективным членом тёмной энергии. В этой статье Бьянкони отождествляет плотность внутренней энергии модели с этим членом. «Эффективная тёмная энергия» описывает его роль в уравнениях. Это не эмпирическое отождествление с тёмной энергией, выводимой из космологических наблюдений.

Точный термодинамический результат внутри модели

Сначала статья работает на уровне самой схемы GfE. Для каждого порядка и типа геометрической степени свободы, индексируемого $k$, она определяет:

• локальную k-энтропию из GQRE;
• локальную k-энергию из плотности внутренней энергии модели;
• сопряжённую k-температуру;
• и k-давление.

Эти величины подчиняются локальному первому закону. В обозначениях статьи:

Индекс $k$ — не перечень разных веществ или эпох Вселенной. В однородном и изотропном вычислении он обозначает пять позиций: одну скалярную; отдельные времениподобную и пространственноподобную позиции вектороподобного сектора; и отдельные время-пространственную и пространство-пространственную позиции бивектороподобного сектора. У скаляра нет направленного индекса, вектороподобные позиции различают временное и пространственные направления, а бивектор строится из пар направлений. Каждый сектор может иметь собственную температуру и давление. K-температура может быть положительной или отрицательной в зависимости от соответствующего компонента G-поля.

Это не температуры, которые измерили бы термометром возле космологического горизонта. Стандартная температура квантового поля в де-ситтеровском пространстве масштабируется как $H$: температура Гиббонса—Хокинга назначается космологическому горизонту, а вакуум Банча—Дэвиса — стандартное инвариантное относительно де Ситтера квантовое состояние, чьи корреляции поля дают связанный тепловой отклик. Статья прямо отличает оба понятия от геометрических k-температур, масштабируемых как $H^{2}$ в примере де Ситтера. Здесь «температура» обозначает термодинамически сопряжённую переменную, выведенную из определений энтропии и энергии модели.

Таким образом, аналог первого закона действительно выводится, но только внутри самой модели: если принять действие и определения GfE, такая термодинамическая структура следует из них математически.

Почему вычисление Фридмана является приближением

Чтобы превратить формализм в космологический пример, статья использует однородные и изотропные пространства-времена Фридмана—Робертсона—Уокера (FRW). «Однородный» означает, что крупномасштабная модель имеет одинаковые средние свойства в каждой точке; «изотропный» — что она выглядит одинаково во всех направлениях. Один масштабный фактор описывает рост расстояний со временем, материя представляется гладкой идеальной жидкостью, а параметр Хаббла $H$ характеризует скорость расширения. Это идеализированный фон, а не карта отдельных галактик.

Но существует структурное несоответствие. Вселенные Фридмана решают уравнения Эйнштейна. В общем случае они не решают полные уравнения GfE более высокого порядка, которые также отслеживают скалярные, вектороподобные и бивектороподобные секторы и производные G-поля. Уравнения Эйнштейна возвращаются только в первом порядке, в низкоэнергетическом пределе малой кривизны предлагаемой модели.

Статья говорит об этом прямо и рассматривает решения Фридмана как приближения, сравнивая подход с подстановкой решения в приближении среднего поля в более полную теорию, чтобы проверить область надёжности приближения. Режим требует низкой энергии и малой кривизны, что выражается условием $l_P H \ll 1$, где $l_P$ — планковская длина. Второе условие требует, чтобы произведение индуцированной метрики более высокого порядка и обратной физической метрики более высокого порядка оставалось положительно определённым.

Поэтому вывод не в том, что «GfE предсказывает историю нашей Вселенной». Корректнее сказать так: если Вселенную в рамках GfE можно достаточно хорошо описать знакомой космологией Фридмана, то полные величины GfE подчиняются таким термодинамическим законам масштабирования.

Локальный результат против полного

Внутри этого режима ведущие локальные величины имеют простые масштабные зависимости:

• плотность энтропии модели масштабируется как $H^{2}$;
• плотность энергии модели — как $H^{4}$;
• для не-де-ситтеровских примеров Фридмана на поздних временах это примерно $t^{-2}$ и $t^{-4}$.

Обе плотности уменьшаются по мере расширения Вселенной. Но плотность — не полное количество.

Когда статья интегрирует величины по расширяющейся области пространства-времени, растущий объём меняет ответ. В привычных физических примерах с доминированием материи и излучения полная энтропия растёт со временем, даже если энтропия на единицу объёма снижается. Полная энергия не продолжает расти; в ведущем порядке она приближается к постоянной.

Это наиболее полезный концептуальный результат статьи. Локальное упорядочивание или разрежение не обязательно противоречит глобальному второму закону. Область может становиться локально менее энтропийной на единицу объёма, а интегральная энтропия — расти, если объём пространства-времени растёт быстрее.

Вычисление не доказывает, что это правильное микроскопическое объяснение термодинамической стрелы времени в реальной Вселенной. Оно показывает, что предлагаемая схема может непротиворечиво вместить различие между локальным и глобальным в приближении Фридмана.

Сравнение с де Ситтером — но с другой температурой

Статья также рассматривает пространство де Ситтера — идеализированное экспоненциально расширяющееся пространство-время с постоянным $H$. Для одного наблюдателя интегрирование выполняется лишь по конечному причинному ромбу: пересечению будущего светового конуса более раннего события с прошлым световым конусом более позднего, ограничивающему область пространства-времени, которая может участвовать в наблюдениях между ними. В этом ромбе полная энтропия GfE масштабируется как $H^{-2}$, то есть так же по H, как знакомая энтропия Гиббонса—Хокинга. Полная энергия GfE имеет порядок единицы в единицах модели.

Совпадение масштабирования не означает вывод того же физического объекта. Связанная k-температура GfE масштабируется как $H^{2}$, в отличие от стандартной температуры де Ситтера, масштабируемой как $H$. Статья интерпретирует различие как указание на то, что k-температура принадлежит геометрии пространства-времени, а не квантовым полям на этом фоне.

Далее предлагается, что такая температура могла бы быть связана с излучением гравитонов, а не обычных частиц. Это вопрос для будущего, не результат статьи. Сначала теорию пришлось бы квантовать, чтобы установить, соответствуют ли её температуры какому-либо излучению вообще.

Чего это не доказывает

• Работа не показывает наблюдательно, что гравитация возникает из энтропии.
• Она не устанавливает, что эффективный член модели является тёмной энергией, измеряемой в космологии.
• Она не заменяет общую теорию относительности проверенной более совершенной теорией. Общая относительность появляется здесь как низкоэнергетический предел малой кривизны предложения.
• Она не делает космологии Фридмана точными решениями GfE. Они являются приближением, использованным для оценки термодинамического поведения модели.
• Она не выводит полный микроскопический подсчёт степеней свободы пространства-времени.
• Она не предоставляет завершённую теорию квантовой гравитации и не обнаруживает гравитоны.
• Она не показывает, что отрицательные k-температуры являются обычными отрицательными показаниями термометра.

Насколько силён результат

Это рецензированная теоретическая статья, поэтому «доказательства» здесь означают не то же, что в эксперименте. Уместные вопросы: согласованы ли определения, следуют ли выводы и явно ли заданы и контролируются приближения.

На этом уровне статья даёт конкретный термодинамический словарь для GfE и выводит структуру первого закона, а не опирается только на аналогию. Она также необычно явно показывает границу приближения: решения Фридмана заимствуются из общей теории относительности, подставляются в величины GfE и ограничиваются режимом, где индуцированная метрика остаётся корректной.

Более широкие физические утверждения остаются открытыми. Схема нова, статья не сравнивает её космологию с данными, а некоторые наиболее интересные следствия — квантование, контактно-геометрическая динамика и возможное излучение гравитонов — представлены как направления будущей работы. Внутренняя согласованность необходима новой теории гравитации, но недостаточна, чтобы показать, что теория описывает природу.

Почему это важно

Связь между гравитацией и термодинамикой стара и глубока — от энтропии чёрных дыр до температуры пространства де Ситтера. Многие такие результаты организованы вокруг горизонтов. GfE вместо этого пытается построить локальную объёмную информационную меру непосредственно из отношения между материей и геометрией.

Выживет ли предложение, неизвестно. Но термодинамическое упражнение выявляет полезное требование к любой подобной теории: она должна объяснять, как локальная структура и падающая локальная плотность энтропии могут сосуществовать с растущей полной энтропией в расширяющейся Вселенной.

Статья показывает один математически явный способ, как это может происходить. Её ценность не в закрытии проблемы связи гравитации и энтропии. Она превращает часть проблемы в уравнения, чьи предпосылки, пределы и последующие проверки можно ясно сформулировать.

Краткий итог

Бьянкони выводит термодинамическое описание внутри Gravity From Entropy — предлагаемой модифицированной гравитационной схемы, основанной на геометрической квантовой относительной энтропии. Локальные переменные энтропии, энергии, температуры и давления модели подчиняются первому закону. Когда полные величины GfE вычисляются на низкоэнергетических приближениях Фридмана с малой кривизной, локальные плотности энтропии и энергии падают при расширении Вселенной, но полная энтропия растёт из-за увеличения объёма пространства-времени; в примерах с доминированием материи и излучения полная энергия в ведущем порядке приближается к постоянной. Причинный ромб де Ситтера даёт энтропию, масштабируемую как $H^{-2}$, но температуру модели, отличную от стандартной температуры горизонта. Это условные математические результаты внутри GfE, а не наблюдательное свидетельство того, что гравитация происходит из энтропии, не измерение тёмной энергии и не завершённая теория квантовой гравитации.