У моделі гравітації на основі ентропії локальна густина ентропії падає, а повна зростає

Зростання об’єму може знижувати густину й водночас збільшувати повну кількість

Якщо в цій моделі густина ентропії падає під час розширення Всесвіту, як його повна ентропія все ж може зростати?

Уявіть Всесвіт, що розширюється, поділений на маленькі комірки. Кількість чогось у кожній комірці може зменшуватися, навіть якщо загальна кількість у всій області, що зростає, збільшується. Зниження густини й зростання повної кількості не суперечать одне одному, якщо змінюється сам об’єм.

Ця проста задача обліку лежить у центрі значно амбітнішої теоретичної статті. У Physical Review D математична фізикиня Джинестра Б’янконі розвиває термодинамічний опис Gravity From Entropy (GfE, «гравітація з ентропії») — нещодавно запропонованої моделі, у якій гравітація кодується інформаційно-теоретичним відношенням між матерією та геометрією. Тут «інформаційно-теоретичний» означає, що модель починається з математичної міри відмінності між двома описами геометрії: фізичною геометрією та геометрією, індукованою матерією й кривиною.

У статті виводяться локальні величини, названі k-ентропіями, k-енергіями, k-температурами та k-тисками. Префікс $k$ розділяє різні геометричні сектори моделі; це не різні речовини й не космічні епохи. Їхнє співвідношення першого закону має ту саму облікову форму, що й у термодинаміці: зміна енергії пов’язана з температурою, помноженою на зміну ентропії, мінус тиск, помножений на зміну об’єму.

Далі стаття обчислює ці величини для космологій Фрідмана, що розширюються, — стандартних ідеалізованих Всесвітів, однорідних та ізотропних у великих масштабах. У низькоенергетичному режимі малої кривини в прикладах, де домінують матерія або випромінювання, локальні густини ентропії й енергії зменшуються, але розширення додає достатньо об’єму, щоб повна ентропія зростала. Повна енергія в провідному порядку наближається до сталої — тобто якщо зберегти член, який домінує на великих часах, і відкинути члени, що згасають швидше.

Це чіткий математичний результат. Не менш важлива його межа: обчислення виконано всередині однієї запропонованої теорії, а космології Фрідмана, використані для конкретних прикладів, є лише наближеними, а не точними розв’язками повних рівнянь GfE. Ці рівняння руху отримують варіюванням запропонованої дії GfE; вони містять динамічне G-поле та геометричні сектори вищого порядку, відсутні у звичайних рівняннях Фрідмана. Стаття не спостерігає, як ентропія породжує гравітацію, не ототожнює темну енергію нашого Всесвіту й не завершує теорію квантової гравітації.

Що припускає Gravity From Entropy

Загальна теорія відносності описує гравітацію через геометрію простору-часу. Матерія повідомляє простору-часу, як викривлятися, а кривина повідомляє матерії, як рухатися. GfE починається з іншої запропонованої дії: пов’язані з метрикою об’єкти розглядаються як квантові оператори, а лагранжіан будується з геометричної квантової відносної ентропії (GQRE).

Відносна ентропія зазвичай вимірює розрізнюваність двох розподілів імовірності або квантових станів. У GfE порівнюються фізична метрика та метрика вищого порядку, індукована матерією й кривиною. «Вищого порядку» не означає додаткові виміри простору-часу. Це означає, що модель об’єднує скалярні, вектороподібні та бівектороподібні геометричні сектори в один розширений об’єкт. Динамічне G-поле пов’язує ці компоненти й «одягає» метрику, використану і в гравітаційній, і в матеріальній частинах моделі. Конструкцію влаштовано так, щоб у низькоенергетичній межі малої кривини її дія переходила в дію Ейнштейна—Гільберта загальної теорії відносності плюс дію матерії.

Останнє речення легко прочитати надто широко. Відновлення рівнянь Ейнштейна в певній межі — перевірка узгодженості пропозиції. Воно не показує, що природа використовує більшу теорію поза цією межею.

Рівняння поля GfE також містять динамічний член, який схема називає ефективним членом темної енергії, що виникає. У цій статті Б’янконі ототожнює густину внутрішньої енергії моделі з цим членом. «Ефективна темна енергія» описує його роль у рівняннях. Це не емпіричне ототожнення з темною енергією, виведеною з космологічних спостережень.

Точний термодинамічний результат усередині моделі

Спочатку стаття працює на рівні самої схеми GfE. Для кожного порядку й типу геометричного ступеня свободи, індексованого $k$, вона визначає:

• локальну k-ентропію з GQRE;
• локальну k-енергію з густини внутрішньої енергії моделі;
• спряжену k-температуру;
• і k-тиск.

Ці величини підкоряються локальному першому закону. У позначеннях статті:

Індекс $k$ — не перелік різних речовин або епох Всесвіту. В однорідному й ізотропному обчисленні він позначає п’ять позицій: одну скалярну; окремі часоподібну та простороподібну позиції вектороподібного сектора; й окремі часопросторову та просторопросторову позиції бівектороподібного сектора. Скаляр не має напрямного індексу, вектороподібні позиції розрізняють часовий і просторові напрямки, а бівектор будується з пар напрямків. Кожен сектор може мати власні температуру й тиск. K-температура може бути додатною або від’ємною залежно від відповідного компонента G-поля.

Це не температури, які виміряв би термометр біля космологічного горизонту. Стандартна температура квантового поля в просторі де Сіттера масштабується як $H$: температура Гіббонса—Гокінга призначається космологічному горизонту, а вакуум Банча—Девіса — стандартний інваріантний щодо де Сіттера квантовий стан, чиї кореляції поля дають пов’язану теплову відповідь. Стаття прямо відрізняє обидва поняття від геометричних k-температур, які в прикладі де Сіттера масштабуються як $H^{2}$. Тут «температура» позначає термодинамічно спряжену змінну, виведену з визначень ентропії та енергії моделі.

Тому тотожність першого закону справді виведена, але є внутрішнім результатом: якщо прийняти дію й визначення GfE, з них випливає ця термодинамічна структура.

Чому обчислення Фрідмана є наближенням

Щоб перетворити формалізм на космологічний приклад, стаття використовує однорідні та ізотропні простори-часи Фрідмана—Робертсона—Вокера (FRW). «Однорідний» означає, що великомасштабна модель має однакові середні властивості в кожній точці; «ізотропний» — що вона виглядає однаково в усіх напрямках. Один масштабний фактор описує зростання відстаней із часом, матерія представляється гладкою ідеальною рідиною, а параметр Габбла $H$ характеризує швидкість розширення. Це ідеалізоване тло, а не карта окремих галактик.

Але існує структурна невідповідність. Всесвіти Фрідмана розв’язують рівняння Ейнштейна. У загальному випадку вони не розв’язують повні рівняння GfE вищого порядку, які також відстежують скалярні, вектороподібні й бівектороподібні сектори та похідні G-поля. Рівняння Ейнштейна повертаються лише в першому порядку, у низькоенергетичній межі малої кривини запропонованої моделі.

Стаття говорить про це прямо й розглядає розв’язки Фрідмана як наближення, порівнюючи підхід із підстановкою розв’язку середнього поля в повнішу теорію, щоб перевірити область надійності наближення. Режим вимагає низької енергії та малої кривини, що виражається умовою $l_P H \ll 1$, де $l_P$ — планківська довжина. Друга умова вимагає, щоб добуток індукованої метрики вищого порядку й оберненої фізичної метрики вищого порядку залишався додатно визначеним.

Тому результат — не «GfE передбачає історію нашого Всесвіту». Він ближчий до формулювання: якщо Всесвіт GfE достатньо добре наближається знайомою космологією Фрідмана, ось які термодинамічні масштабні залежності дають повні величини GfE.

Локальний результат проти повного

Усередині цього режиму провідні локальні величини мають прості масштабні залежності:

• густина ентропії моделі масштабується як $H^{2}$;
• густина енергії моделі — як $H^{4}$;
• для недесіттерівських прикладів Фрідмана на пізніх часах це приблизно $t^{-2}$ і $t^{-4}$.

Обидві густини зменшуються в міру розширення Всесвіту. Але густина — не повна кількість.

Коли стаття інтегрує величини за областю простору-часу, що розширюється, зростання об’єму змінює відповідь. У звичних фізичних прикладах із домінуванням матерії й випромінювання повна ентропія зростає з часом, навіть якщо ентропія на одиницю об’єму знижується. Повна енергія не продовжує зростати; у провідному порядку вона наближається до сталої.

Це найкорисніший концептуальний результат статті. Локальне впорядкування або розрідження не обов’язково суперечить глобальному другому закону. Область може ставати локально менш ентропійною на одиницю об’єму, а інтегральна ентропія — зростати, якщо об’єм простору-часу збільшується швидше.

Обчислення не доводить, що це правильне мікроскопічне пояснення термодинамічної стріли часу в реальному Всесвіті. Воно показує, що запропонована схема може несуперечливо вмістити різницю між локальним і глобальним у наближенні Фрідмана.

Порівняння з де Сіттером — але з іншою температурою

Стаття також розглядає простір де Сіттера — ідеалізований простір-час, що експоненційно розширюється зі сталим $H$. Для одного спостерігача інтегрування виконується лише за скінченним причинним ромбом: перетином майбутнього світлового конуса ранішої події з минулим світловим конусом пізнішої, який обмежує область простору-часу, що може брати участь у спостереженнях між ними. У цьому ромбі повна ентропія GfE масштабується як $H^{-2}$, тобто так само за H, як знайома ентропія Гіббонса—Гокінга. Повна енергія GfE має порядок одиниці в одиницях моделі.

Збіг масштабування не означає виведення того самого фізичного об’єкта. Пов’язана k-температура GfE масштабується як $H^{2}$, на відміну від стандартної температури де Сіттера, що масштабується як $H$. Стаття інтерпретує різницю як вказівку на те, що k-температура належить геометрії простору-часу, а не квантовим полям на цьому тлі.

Далі пропонується, що така температура могла б бути пов’язана з випромінюванням гравітонів, а не звичайних частинок. Це питання для майбутнього, не результат статті. Спочатку теорію довелося б квантувати, щоб установити, чи відповідають її температури будь-якому випромінюванню взагалі.

Чого це не доводить

• Робота не показує спостережно, що гравітація виникає з ентропії.
• Вона не встановлює, що ефективний член моделі є темною енергією, вимірюваною в космології.
• Вона не замінює загальну теорію відносності перевіреною досконалішою теорією. Загальна відносність з’являється тут як низькоенергетична межа малої кривини пропозиції.
• Вона не робить космології Фрідмана точними розв’язками GfE. Вони є наближенням, використаним для оцінювання термодинамічної поведінки моделі.
• Вона не виводить повний мікроскопічний підрахунок ступенів свободи простору-часу.
• Вона не надає завершеної теорії квантової гравітації й не виявляє гравітони.
• Вона не показує, що від’ємні k-температури є звичайними від’ємними показами термометра.

Наскільки сильним є результат

Це рецензована теоретична стаття, тому «докази» тут означають не те саме, що в експерименті. Доречні питання: чи узгоджені визначення, чи випливають висновки і чи явно задані й контрольовані наближення.

На цьому рівні стаття дає конкретний термодинамічний словник для GfE та виводить структуру першого закону, а не спирається лише на аналогію. Вона також незвично прямо показує межу наближення: розв’язки Фрідмана запозичуються із загальної теорії відносності, підставляються у величини GfE й обмежуються режимом, де індукована метрика залишається коректною.

Ширші фізичні твердження залишаються відкритими. Схема нова, стаття не порівнює її космологію з даними, а деякі найцікавіші наслідки — квантування, контактно-геометрична динаміка й можливе випромінювання гравітонів — подані як напрямки майбутньої роботи. Внутрішня узгодженість необхідна новій теорії гравітації, але недостатня, щоб показати, що теорія описує природу.

Чому це важливо

Зв’язок між гравітацією й термодинамікою старий і глибокий — від ентропії чорних дір до температури простору де Сіттера. Багато таких результатів організовані навколо горизонтів. GfE натомість намагається побудувати локальну об’ємну інформаційну міру безпосередньо з відношення між матерією та геометрією.

Чи виживе пропозиція, невідомо. Але термодинамічна вправа виявляє корисну вимогу до будь-якої подібної теорії: вона має пояснити, як локальна структура й спадна локальна густина ентропії можуть співіснувати зі зростанням повної ентропії у Всесвіті, що розширюється.

Стаття показує один математично явний спосіб, як це може відбуватися. Її цінність не в закритті проблеми зв’язку гравітації та ентропії. Вона перетворює частину проблеми на рівняння, чиї передумови, межі й подальші перевірки можна чітко сформулювати.

Короткий підсумок

Б’янконі виводить термодинамічний опис усередині Gravity From Entropy — запропонованої модифікованої гравітаційної схеми, заснованої на геометричній квантовій відносній ентропії. Локальні змінні ентропії, енергії, температури й тиску моделі підкоряються першому закону. Коли повні величини GfE обчислюються на низькоенергетичних наближеннях Фрідмана з малою кривиною, локальні густини ентропії та енергії падають під час розширення Всесвіту, але повна ентропія зростає через збільшення об’єму простору-часу; у прикладах із домінуванням матерії та випромінювання повна енергія в провідному порядку наближається до сталої. Причинний ромб де Сіттера дає ентропію, що масштабується як $H^{-2}$, але температуру моделі, відмінну від стандартної температури горизонту. Це умовні математичні результати всередині GfE, а не спостережне свідчення того, що гравітація походить з ентропії, не вимірювання темної енергії й не завершена теорія квантової гравітації.