量子力學可以只用實數寫成——代價藏在系統如何組合

一個值得重讀的標題

幾年前，一個很吸睛的說法廣為流傳：實驗已經證明虛數在物理上是真實的，而且量子力學不能不用虛數。這個說法確實源自真正而嚴謹的物理工作——Marc-Olivier Renou 等人在 2021 年發表於 Nature 的提案，以及 2022 年實際執行的實驗。但流行版本把一個非常精確的敘述壓縮成口號，而口號比原本結果強得多。

Pedro Barrios Hita、Anton Trushechkin、Hermann Kampermann、Michael Epping 與 Dagmar Bruß 在 Physical Review Letters 發表的新論文，把那個精確敘述重新放回來。他們構造了一套只使用實數的量子力學，卻能重現標準複數理論的每一個預測——包括那些曾被說成「排除實數」的多方實驗。關鍵不是偷偷把虛數塞回去，而是改變一項關於不同系統如何組合的假設。

作者自己最精確的結論是：複數不是描述量子力學所必需的，但它們確實非常有用。

複數在量子理論裡到底做什麼

量子力學用振幅描述系統狀態，而一個結果的機率來自振幅大小的平方。在標準理論中，這些振幅是複數：每個振幅都有大小，也有相位，也就是一個角度。這個相位不是裝飾。當兩條通往同一結果的路徑疊加時，它們的相位決定彼此會加強還是抵消——也就是量子行為最具代表性的干涉。另一方面，整個系統共同帶著的總體相位則永遠無法被量測。

一個複數其實就是一對實數——實部與虛部——再加上特定的乘法規則。因此，一個很自然的問題是：真正必要的是這個「打包方式」嗎？能不能保留兩個實數、拿掉複數的包裝，仍然保有完整量子力學？正是那些乘法規則，讓複數不只是兩個並排的實數，因此答案並不顯然；微妙之處也就在這裡。

2021 年的結果真正證明了什麼

Renou 等人問的正是這個問題，而且把它變成一個可以實驗檢驗的形式。他們不是問「實數能不能出現在量子理論裡」；他們問的是：在採用某一種系統組合規則的前提下，只用實數的量子力學能否重現複數理論的全部預測？那個規則就是通常所謂的張量積規則，也是描述多個獨立部分如何合成一個整體的標準方式。

在這個規則下，他們找出一個三方情境：兩個彼此獨立的來源分別提供糾纏，實數理論與複數理論會預測不同、而且可量測的相關性——可以看成 Bell 測試的多方版本。2022 年，以超導電路與光子進行的實驗都執行了這類測試。量到的相關性符合複數量子力學，而不符合那個實數替代理論。

這是一個真實而明確的結果。但要仔細看它比較的是什麼：標準複數量子理論，對上一個特定實數理論——也就是仍保留通常張量積規則的那個版本。實驗裁決的是這一組配對，而不是「實數本身」是否允許存在於量子力學。

新論文借用量子基礎研究的術語，乾脆把被排除的替代版本叫做「對照理論」（foil theory）：一個沒有人真的主張為正確理論、而是刻意放在標準理論旁邊作對照，好讓實驗可以區分的理論。這種對照理論的價值本來就在於它可被區分；排除它，告訴我們究竟是哪一個實數理論假設造成差異。

新論文改了什麼

新工作保留幾乎所有東西，只改一條公設。它不再把張量積規則當作系統組合的出發點，而是從一個作者認為更具物理基本性的局域性要求出發：只對某一子系統進行的操作，不應在另一個完全沒有被碰到的子系統上造成可量測影響。

從這個出發點，作者明確構造了一套只用實數的量子力學。通常複振幅的實部與虛部，被改成額外的實數記帳資訊；論文把這視為附在每個系統上的一個「旗標」。複數理論裡不可觀測的整體相位，在實數版本中變成同樣不可觀測的一種旋轉。

代價正好出現在 2021 年結果指出的位置：系統如何組合。若用最直覺方式把這些實數描述直接拼起來，甚至連一致而良好定義的規則都得不到。因此，新構造不是直接拼接，而是先把描述同一物理情況的不同表示歸成等價類，再對這些等價類工作。

採用這種組合規則後，實數理論可以重現複數理論預測的每一個期望值——不論單一系統，或多個彼此分離卻糾纏的系統。作者還證明，這套構造在本質上是唯一的，而且與標準量子力學等價。

因此，多方實驗無法把這個實數理論與複數理論區分開來，因為兩者對每一項可觀測預測都相同。早期實驗沒有失敗；它們只是測試了另一個、限制更強的實數理論。

為什麼這不是矛盾

很容易把新結果讀成「2021 年的實驗錯了」。其實正好相反。那些實驗是對的，而這篇論文甚至依賴它們是對的：新理論接受所有已量到的相關性，只是展示有一套實數形式同樣能產生它們。

真正被修正的是詮釋——從「這一個實數理論被否證」跳到「實數不可能用於量子力學」。這一步跳過了真正發揮作用的那個假設。

論文也沒有主張大家應該拋棄複數。它自己的摘要對兩邊都很謹慎：複數不是嚴格必需，但確實非常有用。實數構造需要每個系統額外帶一個旗標，而且系統組合規則更精細；複數則把這一整套東西優雅地打包進一種乾淨算術。方便性不是小事。在物理裡，它往往正是一種形式最終勝出的全部理由。

為什麼重要

真正有趣的底層問題是：對一個物理理論而言，「必要」到底意味著什麼。只有當兩個理論預測不同結果時，實驗才能把它們區分開。實驗本身無法告訴你，某個數學成分是否是容納那整組預測的唯一可能方式。後者是一個關於「還有哪些理論可以存在」的問題，而答案靠的是構造，不是量測。這篇論文本身就是一個構造：它把一個曾被以為已經被實驗排除的替代方案實際做了出來。

這個結果也釐清了一個更普遍、值得牢記的差別：「這個理論被否證了」與「這個數學工具不可避免」是兩個不同敘述。正是在兩者之間的空隙裡，一個乾淨的實驗結果最容易被放大成超過證據的主張。

複數仍然是量子力學最自然、最有效率的語言。它們在形上學意義上是否不可缺少，是另一個問題；就這個問題而言，目前答案是：不是。

重點摘要

2021 年的理論提案與 2022 年實驗證明：若只用實數建立量子力學，而且仍採用標準張量積規則來組合系統，那麼它會做出與複數量子力學不同、可被測試的預測；實驗支持了複數理論。這後來常被報導為「虛數在物理上是必要的」。新的 Physical Review Letters 論文改用一個基於局域性的公設，構造出只用實數、卻能重現複數理論全部預測的量子力學，包括那些多方實驗。它顯示複數很方便，但不是嚴格不可取代。這是理論構造，不會推翻早期實驗，也沒有要求實務上重新改寫量子力學。

務實檢視

論文證明了什麼： 如果以局域性公設而不是標準張量積規則作為系統組合的基礎，就能建立一套自洽、只用實數的量子力學，而且重現標準複數理論的所有預測，包括多方 Bell 類實驗。

合理但不是重點的說法： 說它「推翻」2021–2022 年結果。其實沒有。它接受那些實驗是正確的，只重新界定它們的適用範圍：實驗排除的是某個保留張量積規則的特定實數理論，不是原則上的實數本身。

論文沒有證明什麼： 它沒有證明複數是錯的、沒用的，或值得在實務上丟掉——作者明確說複數非常有用。它也不是新實驗：沒有新資料量測；核心主張來自數學構造與一致性證明。

一般讀者最需要注意的限制： 論證取決於你把哪一個假設視為更具物理基本性——標準張量積規則，還是局域性公設。這是量子基礎研究中仍在討論的、帶理由的選擇，而不是由量測直接指定的事實；而且這套實數構造也可以說比它所模擬的複數形式更不自然。

一般讀者應有多大信心？ 對這個構造在數學上一致，可以有高度信心：它已經同儕審查，邏輯也可檢查。真正應該相信的結論是較克制的那個：複數是量子力學非常方便的語言，但並沒有被證明是形上學上不可避免的。看到「虛數是真的」這種標題時，最好把它當作這篇論文正試圖修正的口號。