量子力学可以只用实数写成——代价藏在系统如何组合

一个值得重读的标题

几年前，一个很吸睛的说法广为流传：实验已经证明虚数在物理上是真实的，而且量子力学不能不用虚数。这个说法确实源自真正而严谨的物理工作——Marc-Olivier Renou 等人在 2021 年发表于 Nature 的提案，以及 2022 年实际执行的实验。但流行版本把一个非常精确的叙述压缩成口号，而口号比原本结果强得多。

Pedro Barrios Hita、Anton Trushechkin、Hermann Kampermann、Michael Epping 与 Dagmar Bruß 在 Physical Review Letters 发表的新论文，把那个精确叙述重新放回来。他们构造了一套只使用实数的量子力学，却能重现标准复数理论的每一个预测——包括那些曾被说成“排除实数”的多方实验。关键不是偷偷把虚数塞回去，而是改变一项关于不同系统如何组合的假设。

作者自己最精确的结论是：复数不是描述量子力学所必需的，但它们确实非常有用。

复数在量子理论里到底做什么

量子力学用振幅描述系统状态，而一个结果的概率来自振幅大小的平方。在标准理论中，这些振幅是复数：每个振幅都有大小，也有相位，也就是一个角度。这个相位不是装饰。当两条通往同一结果的路径叠加时，它们的相位决定彼此会加强还是抵消——也就是量子行为最具代表性的干涉。另一方面，整个系统共同带着的总体相位则永远无法被测量。

一个复数其实就是一对实数——实部与虚部——再加上特定的乘法规则。因此，一个很自然的问题是：真正必要的是这个“打包方式”吗？能不能保留两个实数、拿掉复数的包装，仍然保有完整量子力学？正是那些乘法规则，让复数不只是两个并排的实数，因此答案并不显然；微妙之处也就在这里。

2021 年的结果真正证明了什么

Renou 等人问的正是这个问题，而且把它变成一个可以实验检验的形式。他们不是问“实数能不能出现在量子理论里”；他们问的是：在采用某一种系统组合规则的前提下，只用实数的量子力学能否重现复数理论的全部预测？那个规则就是通常所谓的张量积规则，也是描述多个独立部分如何合成一个整体的标准方式。

在这个规则下，他们找出一个三方情境：两个彼此独立的来源分别提供纠缠，实数理论与复数理论会预测不同、而且可测量的相关性——可以看成 Bell 测试的多方版本。2022 年，以超导电路与光子进行的实验都执行了这类测试。测得的相关性符合复数量子力学，而不符合那个实数替代理论。

这是一个真实而明确的结果。但要仔细看它比较的是什么：标准复数量子理论，对上一个特定实数理论——也就是仍保留通常张量积规则的那个版本。实验裁决的是这一组配对，而不是“实数本身”是否允许存在于量子力学。

新论文借用量子基础研究的术语，干脆把被排除的替代版本叫做“对照理论”（foil theory）：一个没有人真的主张为正确理论、而是刻意放在标准理论旁边作对照，好让实验可以区分的理论。这种对照理论的价值本来就在于它可被区分；排除它，告诉我们究竟是哪一个实数理论假设造成差异。

新论文改了什么

新工作保留几乎所有东西，只改一条公设。它不再把张量积规则当作系统组合的出发点，而是从一个作者认为更具物理基本性的局域性要求出发：只对某一子系统进行的操作，不应在另一个完全没有被碰到的子系统上造成可测量影响。

从这个出发点，作者明确构造了一套只用实数的量子力学。通常复振幅的实部与虚部，被改成额外的实数记账信息；论文把这视为附在每个系统上的一个“标记”。复数理论里不可观测的整体相位，在实数版本中变成同样不可观测的一种旋转。

代价正好出现在 2021 年结果指出的位置：系统如何组合。若用最直觉方式把这些实数描述直接拼起来，甚至连一致而良好定义的规则都得不到。因此，新构造不是直接拼接，而是先把描述同一物理情况的不同表示归成等价类，再对这些等价类工作。

采用这种组合规则后，实数理论可以重现复数理论预测的每一个期望值——不论单一系统，或多个彼此分离却纠缠的系统。作者还证明，这套构造在本质上是唯一的，而且与标准量子力学等价。

因此，多方实验无法把这个实数理论与复数理论区分开来，因为两者对每一项可观测预测都相同。早期实验没有失败；它们只是测试了另一个、限制更强的实数理论。

为什么这不是矛盾

很容易把新结果读成“2021 年的实验错了”。其实正好相反。那些实验是对的，而这篇论文甚至依赖它们是对的：新理论接受所有已测得的相关性，只是展示有一套实数形式同样能产生它们。

真正被修正的是解读——从“这一个实数理论被否证”跳到“实数不可能用于量子力学”。这一步跳过了真正发挥作用的那个假设。

论文也没有主张大家应该抛弃复数。它自己的摘要对两边都很谨慎：复数不是严格必需，但确实非常有用。实数构造需要每个系统额外带一个标记，而且系统组合规则更精细；复数则把这一整套东西优雅地打包进一种干净算术。方便性不是小事。在物理里，它往往正是一种形式最终胜出的全部理由。

为什么重要

真正有趣的底层问题是：对一个物理理论而言，“必要”到底意味着什么。只有当两个理论预测不同结果时，实验才能把它们区分开。实验本身无法告诉你，某个数学成分是否是容纳那整组预测的唯一可能方式。后者是一个关于“还有哪些理论可以存在”的问题，而答案靠的是构造，不是测量。这篇论文本身就是一个构造：它把一个曾被以为已经被实验排除的替代方案实际做了出来。

这个结果也澄清了一个更普遍、值得牢记的差别：“这个理论被否证了”与“这个数学工具不可避免”是两个不同叙述。正是在两者之间的空隙里，一个清晰的实验结果最容易被放大成超过证据的主张。

复数仍然是量子力学最自然、最高效的语言。它们在形而上学意义上是否不可缺少，是另一个问题；就这个问题而言，目前答案是：不是。

简明总结

2021 年的理论提案与 2022 年实验证明：若只用实数建立量子力学，而且仍采用标准张量积规则来组合系统，那么它会做出与复数量子力学不同、可被测试的预测；实验支持了复数理论。这后来常被报道为“虚数在物理上是必要的”。新的 Physical Review Letters 论文改用一个基于局域性的公设，构造出只用实数、却能重现复数理论全部预测的量子力学，包括那些多方实验。它显示复数很方便，但不是严格不可取代。这是理论构造，不会推翻早期实验，也没有要求实践中重新改写量子力学。

不绕弯检查

论文证明了什么： 如果以局域性公设而不是标准张量积规则作为系统组合的基础，就能建立一套自洽、只用实数的量子力学，而且重现标准复数理论的所有预测，包括多方 Bell 类实验。

合理但不是重点的说法： 说它“推翻”2021–2022 年结果。其实没有。它接受那些实验是正确的，只重新界定它们的适用范围：实验排除的是某个保留张量积规则的特定实数理论，不是原则上的实数本身。

论文没有证明什么： 它没有证明复数是错的、没用的，或值得在实际使用中放弃——作者明确说复数非常有用。它也不是新实验：没有新数据测量；核心主张来自数学构造与一致性证明。

一般读者最需要注意的限制： 论证取决于你把哪一个假设视为更具物理基本性——标准张量积规则，还是局域性公设。这是量子基础研究中仍在讨论的、带理由的选择，而不是由测量直接指定的事实；而且这套实数构造也可以说比它所模拟的复数形式更不自然。

一般读者应有多大信心？ 对这个构造在数学上一致，可以有高度信心：它已经同行评审，逻辑也可检查。真正应该相信的结论是较克制的那个：复数是量子力学非常方便的语言，但并没有被证明是形而上学上不可避免的。看到“虚数是真的”这种标题时，最好把它当作这篇论文正试图修正的口号。